Advertisement

Logika Matematis atau Simbolis

Logika matematis tampaknya merupakan hasil penerapan metode-metode matematika yang formal dalam bidang logika, penelitian logis terhadap penalaran dan bukti matematis. Logika matematis meneiiti proses-proses logis melalui refleksinya dalam bahasa-bahasa yang diformalisasikan, atau kalkulus-kalkulus logis. Di samping studinya tentang struktur kalkulus-kalkulus logis yang formal logika matematis juga memeriksa hubungan antara kalkulus-kalkulus dan hubungan bidang-bidang substantif yang berguna sebagai interpretasi-interpretasi dan model-modelnya. Tugas ini menggambarkan problem-problem semantika logis. Sintaksis dan semantika logis termasuk metalogika. Metalogika merupakan teori tentang cara-cara penggambaran, premis-premis dan ciri-ciri kalkulus logis.

Advertisement

Logika matematis (atau logika simbolis) dapat ditafsirkan secara sempit maupun secara luas. Dalam arti sempit, ia mencakup kal- kulus projiosisional dan kalkulus predikat. Dalam arti luas, yang kadang-kadang disebut “logistika” ia mencakup aneka-ragam sistem yang berhubungan. Masing-masing arti ini memerlukan penjelasan lebih lanjut.

Secara dangkal, ciri khas logika matematis (simbolis) ialah penggunaan notasi simbolis yang menyerupai aljabar. Secara lebih mendalain, ciri khasnya ialah struktur aksiomatiknya yang keabsahannya formal semata-mata. Yaitu, kesahihan itu tidak tergantung pada isi di mana hal itu bisa diterapkan. Logika, dalam arti formal ini tidak dapat dianggap sebagai aturan-aturan penalaran, kendati ia mudah digunakan sebagai alat penalaran. Kendati logika formal sebagiannya dimulai oleh Leibniz dan lain-lain, namun, sebenamya perkembangan logika matematis mulai dengan karya A. de Morgan (1806— 1871), yang mendasarkan logika pada inklusi kelompok; dan G. Boole (1815 — 1864), yang mencoba menjadikan logika sebagai bagian dari matematika. Tokoh-tokoh yang sangat penting dalam perkembangan logika kontemporer ialah G. Frege (1848 — 1925) yang memperkenalkan kuancifikasi dan formalisasi logika; A. Whitehead dan B. Russel yang dalam Principia Mathematica, karya monumentalnya (1910—1913) ber- upaya mengasalkan semua matematika dari logika itu sendiri; dan K. Goedel, yang menetapkan batas-batas melekat yang pas bagi sistem luas mana saja. Logika formal yang lahir dari upaya-upaya ini dapat paling baik dipahami dalam kaitan dengan tingkat-ting- kat.

Tingkat yang paling rendah ialah kalkulus proposisional (sentential). Di sini, proposisi-proposisi diperlakukan sebagai unit-unit (satuan-satuan) yang tidak dapat direduksi lagi. Relasi-relasi yang mungkin ada antara proposisi-proposisi disistematisasi menurut kata-sambung logis, misalnya, “bukan”, “tidak”, “dan”, “atau”, dan “berarti”. Kata-kata sambung ini semata-mata bergantung pada kebenaran atau ketidakbenaran proposisi terscbut, dan bukan pada maknanya. Formalisasi tipikal logika ini mendalilkan tiga aksioma dan satu aturan penarikan kesimpulan yang memungkinkan seseorang bisa memperoleh semua kebenaran logis yang cocok dengan kombinasi proposisi yang mengandung fungsi kebenaran. Kebenaran-kebenaran ini, yang dipandang dari dalam sistem tersebut, merupakan tautologi-tautologi. Hal-hal itu tidak memberikan informasi faktual tetapi bisa berfungsi sebagai sarana-sarana yang sah bagi kesimpulan. Perluasan longgar dari sistem ini, yang didasarkan pada introduksi aksioma-aksioma lebih lanjut, meng- hasilkan kembali struktur formal logika Aristoteles.

Kalkulus predikat mengandaikan kalkulus proposisional tetapi menambahkan ide kuantifikasi. Itu berarti, kalkulus predikat dapat memperlakukan proposisi sebagai satuan yang rumit yang mempertalikan predikat pada subjek. Kalkulus predikat dikualifikasi dengan “beberapa” atau “semua”. Sistem ini dapat juga dikembangkan sedemikian rupa sehingga komplit dan konsisten. Tahap perkembangan lebih lanjut, suatu tahap yang diperlukan untuk deduksi matematis memerlukan urutan kuantifikasi yang lebih tinggi. Ini melibatkan predikat dari predikat (atau kelas dari kelas-kelas) maupun predikat urutan pertama yang diterapkan pada subjek-subjek. Logika yang diperluas ini tidak dapat dikem- bangkan sekian rupa sehingga lengkap maupun konsisten.

Logika dalam arti lebih luas, yang kadang-kadang discbut “logistik”, mencakup perluasan logika klasik yang diringkaskan di atas maupun logika non-klasik. Perluasan logika yang sangat penting (semiotika) memperlakukan logika formal sebagai bahasa objek yang dibicarakan dalam pelbagai metabahasa. Kalau bahasa objek dianggap sebagai serangkaian tanda yang tidak ditafsirkan, seseorang bisa mengintrodusir tiga hal ini. Pertama, metabahasa sintaksts, menentukan aturan untuk merangkaikan, membentuk dan mengubah tanda-tanda ini. Kedua, metabahasa semantik, membicarakan arti dan penafsiran dari tanda-tanda ini. Ketiga, metabahasa pragmatik, mencakup subjek yang menggunakan logika dan membicarakan pertanyaan-pertanyaan seperti itu sebagai bermanfaat dan dapat diterima. Seringkali ada pendapat dan seringkali diperdebatkan bahwa bahasa sehari-hari berfungsi sebagai metabahasa tertinggi dalam menafsirkan logika formal. Logika non-klasik mencakup baik sistem-sistem yang tidak ber- sesuaian dengan beberapa dalil logika klasik maupun sistem-sistem yang berupaya memperluas teknik-teknik logika pada bidang- bidang baru. Yang terpenting di antaranya ada tiga. Pertama, logika jamak-nilai (banyak-nilai). Ia menggantikan logika klasik yang atau “benar” atau “salah” dengan tiga nilai atau lebih. Kedua, logika modal. Ia mencoba merumuskan logika yang cocok dengan proposisi-proposisi yang bersifat “niscaya” atau “mungkin”. Dan ketiga, logika deontik. Ia mencoba merumuskan logika kewajiban, misalnya, dalam etika. Keabsahan dari setiap sistem ini sudah diperdebatkan. Kendati peranan logika dalam penjelasan seringkali terlampau ditekankan, misalnya oleh kaum positivis logis, namun terhadap beberapa fakta berikut ini tidak terdapat keraguan rasional. Pertama, logika kontemporer, menyajikan kemajuan tersendiri bila dibandingkan dengan logika apa pun yang mendahuluinya. Kedua, logika modern menyediakan perangkat yang berharga, seringkali sangat diperlukan bagi perkembangan sistem-sistem formal dari pemikiran. Dan ketiga, rumusan-rumusan teknis logika modern berfungsi menjelaskan banyak masalah filosofis.

Hasil-hasil gemilang yang menentukan keadaan logika matematis sekarang ini diperoleh pada tahun 1930-an oleh Goedel, Tarski, dan A. Church. Pada masa sekarang logika matematis meneliti beraneka jenis kalkulus logis. Dan ia menaruh minat kepada problem-problem semantis dan metalogika pada umumnya. Logika matematis juga memberikan perhatian kepada problem-problem penerapan matematis spasial dan teknis dari logika. Logika matematis memberikan pengaruh besar pada matematika kontemporer. Ia diterapkan dalam rekayasa elektris (studi tentang kontak-kontak relay dan sistem-sistem elektronik); dalam komputer-komputer (pemrograman); dalam kibernetika (teori tentang alat-alat otomatis); dalam neurofisiologi, dan linguistik (linguistik dan semiotika struk- tural) modern berfungsi menjelaskan banyak masalah fllosofis.

Incoming search terms:

  • contoh definisi simbolis matematika
  • Definisi matematis
  • Pengertian Penafsiran kalkulus
  • Perqn logika dalam sistem matematis

Advertisement
Filed under : Bikers Pintar, tags:

Incoming search terms:

  • contoh definisi simbolis matematika
  • Definisi matematis
  • Pengertian Penafsiran kalkulus
  • Perqn logika dalam sistem matematis